School

Правилен $n$-ъгълник - многоъгълник, чиито всички ъгли и страни са равни

а) ъгли - означават се с ${\alpha }_n$

• всеки ъгъл ${\alpha }_n$ в правилен $n$-ъгълник има следната стойност

$${\alpha }_n=\frac{n-2}{n}\times 180°$$

• сумата от ъглите в правилен $n$-ъгълник е $(n-2)\times 180°$

б) ограденост

• във всеки правилен многоъгълник може да се впише единствена окръжност с радиус $r_n$
• около всеки правилен многоъгълник може да се опише единствена окръжност а радиус $R_n$
• връзка между двата радиуса

$$\frac{r_n}{R_n}=\cos \left(\frac{180°}{n}\right)$$

• вписаната и описаната окръжност са концентрични
• център на многоъгълника - общият за двете окръжност център

в) страни - означават се с $a_n$

• връзка с радиуса на вписаната окръжност

$$a_n=2r_n\tan \left(\frac{180°}{n}\right)$$

• връзка с радиуса на описаната окръжност

$$a_n=2R_n\sin \left(\frac{180°}{n}\right)$$

в) лице

• чрез страната

$$S_n=\frac{1}{4}n{a}_n^2\cot \left(\frac{180°}{n}\right)$$

• чрез радиуса на вписаната окръжност

$$S_n=n{r}_n^2\tan \left(\frac{180°}{n}\right)$$

• чрез радиуса на описаната окръжност

$$S_n=\frac{1}{2}n{R}_n^2\sin \left(\frac{360°}{n}\right)$$